1. 使用教材

   「３訓練実施場所と設備機器」を参照

2. 訓練事前準備項目
   1. テキスト

      教科書、自作テキスト

   2. 受講者名簿
   3. アンケート

3. 訓練項目と訓練経過時間

【１日目】　

９：００　はじめに

• 挨拶
• 自己紹介
• テキスト、教材などの確認
• コース内容、日程の説明

９：３０　（自前テキスト第１章）　ウェーヴレットの概要

• 学習のポイントの指示
• ウェーヴレットについての導入
• 信号解析への応用例などの提示（ＯＨＰなど）

１０：００　ウェーヴレットとは何か

午前中は理論の説明を中心に

• 教科書Ｐ２の図１．１などを提示しウェーブレットについて概略の説明
• ウェーブレット（連続）の作り方。伸縮・平行移動について教科書Ｐ２の図１．２やＰ５の図１．６などを示し、その方法と意味を説明する。
• 連続ウェーヴレット変換による時間周波数解析。　フーリエ解析などとの違いを踏まえ、丁寧に説明。
• 不確定性について。教科書Ｐ９の図１．１１を示し、時間周波数解析において本質的に不確定性が現れることを示す。

１２：００　昼食

１３：００

午後はＭａｔｈｅｍａｔｉｃａによるプログラミングで実習中心。

演習１でウェーブレットの作り方を理解する。

• 与えられた関数を定義し、プロットする。
• （３）はＮＩｎｔｅｇｒａｔｅを用い、積分区間は必ずしも、無限区間でなくても、グラフの収束状況を見て決める。例えば（－１０～１０）。
  • マザー・ウェーヴレットの６４という数字や、ｘを２ｘ、３ｘなどに変えた場合はどうなるか時間があればやってみる。　

１３：３０

演習２でウェーブレットの伸縮と平行移動を理解する。

• 演習１で定義したマザー・ウェーヴレットを用いて、新たに，ｂ，ａを変数とするウェーヴレットを定義し、ａ、ｂの値を変えプロットする。また、その図を同一画面に並べ、伸縮と平行移動の様子をみる。

１５：００

演習３で連続ウェーヴレット変換による時間周波数解析を理解する。

• （１）（２）において、積分変換における情報収集の意味を理解する。（教科書Ｐ５～６）
• （３）については信号とウェーヴレットの積（ｂ，ａを変数として含む）をＮＩｎｔｅｇｒａｔｅでｘについて積分し、それをｂ，ａについてＰｌｏｔ３Ｄ又は、ＣｏｎｔｏｕｒＰｌｏｔで表示する。

１６：００

演習４で不確定性関係の問題を理解する。

• 教科書Ｐ９の図１．１１　の上図の左からｓｉｎｘに窓（ａ）、（ｂ）、（ｃ）を掛けた図である。左から右に向かって時間幅げ狭くなっている。それとともに周波数の特定が困難になっている。
• 下の図は周波数の特定が困難になっている様子をフーリエ変換により示している。
• これにより時間と周波数を同時に特定できないという不確定性を理解する。

（定義式をそのままフーリエ積分すると時間がかかるので、離散データをつくり、離散フーリエ変換する。）

１７：３０

１日目についての質疑応答。　

１８：００終了　　　

【２日目】

（自前テキスト第２章）　離散ウェーヴレット変換

午前中は２章の理論を中心に学習。

９：００　前回の復習。質疑応答。

９：３０　不確定性と離散ウェーブレット変換について教科書Ｐ１１などを示し、離散化の方法と、その意味を説明。

１０：３０　多重解像度解析について教科書Ｐ１３～Ｐ１５などでその仕組みと意味について説明。

１１：００　信号の分解・再構成

教科書Ｐ１３～Ｐ１６，Ｐ４９～Ｐ５１などを示し、信号の分解・再構成の方法と、意味について説明。

１２：００　昼食

１３：００　演習１により、不確定性関係を理解し、離散化された時間周波数窓とそれぞれの窓での信号とウェーヴレットの相関の強さを調べる。

• （１）教科書Ｐ１２の図１．１３において一番下の間隔を１秒間隔とするとその上は１／２秒、その上は１／４秒間隔となる。各窓の面積は２だから、周波数幅は上から半分ずつになる。
• （２）教科書Ｐ１１の（１．７）式に代入する。ウェ－ヴレットは１章で定義した関数を用いる。

１５：００

演習２により基底関数を理解する。

• これはそれぞれの線形結合をつくり、恒等式とし係数が０であることを示す。

１５：３０

演習３は教科書のように代入してみる。それより多重解像度解析を理解する。

• 教科書Ｐ３８～Ｐ３９を参考。

１６：００

（自前テキスト第３章）　Ｈａａｒ基底による離散ウェーヴレット変換　

学習のポイントを説明

教科書Ｐ３０～Ｐ３５を示し、Ｈａａｒのウェーヴレットなどについて説明。

演習１を通して、Ｈａａｒの基底関数によるトゥー・スケール関係や伸縮・平行移動そして、コンパ

クト・サポートの意味を理解する。

• （１）は教科書の（２．５）、（２．９）式を用いて関数を定義し、プロットする。
• （２）、（３）では（１）を元にｂ，ａを変数とする関数を定義しｂ，ａの値を代入する。

１８：００終了

【３日目】

９：００　前回の復習。質疑応答。

９：３０　教科書Ｐ３８のＨａａｒ基底を用いてトゥー・スケール関係の説明など。

１０：３０　演習２を通して直交基底関数のトゥー・スケール関係などを理解する。

• ここではＨａａｒ基底が直交性やトゥー・スケール関係などを満たしている最も簡単な場合であることを理解する。

１２：００　昼食

１３：００　演習３により直交基底の概念を理解する。

• （１）についてはＨａａｒ基底を変数ｂ，ａで再定義し、ｂ，ａの値を変えて、線形結合をつくり、調べる。
• （２）で定義したＨａａｒ基底のｂ、ａの値を変えた関数をＰ５６の（４．３）、（４．４）、（４．５）式で調べる。

１４：００　演習４によりＨａａｒ基底の微分不可能点の存在による問題点を理解する。

• Ｈａａｒ基底を直接フーリエ変換し、それをプロットすることで周波数領域ですそが広がっている様子がわかる。このとき、フーリエ変換の結果が複素数で得られるのでプロットするときは絶対値をとる。

１５：００　演習５　データを分解アルゴリズムで分解し、その仕組みを理解する。

• （１）は第１章で与えた信号の　ｃ（ｊ、ｋ）を積分で定義する。
• （２）（３）（４）それをＨａａｒのスケーリング関数を用いて、それぞれのレベルの信号をスケーリング関数で表し、プロットする。
• （５）（６）（７）はウェーヴレットで信号を展開する。　
• 演習６も演習５と同様であるが、初めのデータが離散データであることに注意する。

１７：３０　質疑応答。

１８：００　終了

【４日目】

（自前テキスト第４章）　直交ウェーヴレット

９：００　前回の復習。質疑応答。

９：３０　Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓのウェーヴレットについて特徴や構成法について説明。

Ｐ５６～Ｐ６５及びＰ１１６～Ｐ１３４を示し、直交ウェーヴレットの構成方法や、その意味を説明。

１１：００　演習１は３章に類似の問題がある。

演習２　Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ　２の場合について、そのトゥー・スケール数列を求める。

• Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ２において、そのトゥー・スケール数列を求めるには教科書Ｐ５６～Ｐ５７にある（４．１）～（４．８）式をＰ５８～Ｐ６０の（４．９）～（４．１７）式で表し、この方程式を解く。これは不定方程式であるが、ここでは一組の解として、（４．１８）を得る。

１２：００　昼食

１３：００　演習２の続き。

１５：００　演習３によりＤａｕｂｅｃｈｉｅｓ２をプロットする。

• 演習２で求めたトゥー・スケール数列からスケーリング関数の整数点での値を（４．１２）式から求める。
• 教科書Ｐ４５の（３．１０）式より半整数点を求める。これを繰り返す。
• ５，６回繰り返し、得られた点をプロットすると、Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ２の図が得られる。
• ウェーヴレットについても同様である。

１７：３０　質疑応答

１８：００　終了

【５日目】

９：００　前回の復習。質疑応答。

９：３０　演習４により分解数列を求め、信号を分解する。

• （１）でトゥー・スケール数列より、分解数列を求める。
• （２）分解アルゴリズムにより、信号を離散畳み込みによるダウンサンプリングする。
• （３）でそれをプロットする。

１２：００　昼食

１３：００　（自前テキスト第５章）　カーディナルＢスプライン

特徴や理論などについて説明。特に、Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓの場合との違い、長所、短所を理解させる。

Ｐ６８～Ｐ７６、Ｐ９６～Ｐ１１４，Ｐ１３６～Ｐ１５３で自前テキストに示す部分を中心に構成方法とその意味について説明。

教科書ではＢスプラインに関しては多くの章を費やしているが、時間の関係でここではできるだけコンパクトにまとめた。演習をこなせば本質的な部分は理解できるはずである。

• Ｂスプラインはガウス関数と似ているが、トゥー・スケール関係を満たし、それ故多重解像度解析ができ、また、それのフーリエ変換もコンパクトであることを理解する。

１６：００　演習１　によりカーディナルＢスプラインの特徴などを理解する。

• （１）教科書Ｐ１３８～Ｐ１３９にある式を定義し、プロットする。
• （２）Ｎ＝２の場合には教科書Ｐ７０～Ｐ７１にある。ここでは（１）で定義した関数とそれを平行移動した関数が（４．３）式を満たさないことを示す。

【６日目】

９：００　前回の復習。質疑応答。

９：３０　演習２において、２、３，４階のＢスプラインを構成する。

Ｂスプラインの構成法は難しいので自前テキストにまとめた箇所を教科書とよく照らし合わせて進めること。

• （１）自前テキスト　５．３　　ｍ　階Ｂスプラインの１２より求める。
• （２）トゥー・スケール数列を定義式より求める。
• （３）同様にｍ階Ｂウェーヴレットを定義し、プロットする。

１２：００　昼食

１３：００　演習３

Ｂスプラインによる補間公式を構成し、例の関数を補間公式で定義し、それをプロットし、もとの関数と同一座標にプロットし、比較する。

１４：３０　演習４

Ｐ１５３のオイラー方程式を教科書の方法で解く。

（注）Ｃａｒｄａｎｏの公式で　ｒ　の式に負符号をつける。（印刷ミスか）

１６：００　演習５　（９．５０）式より、分解数列を求める。

（注）Ｈ（ｚ）の総和がｋ＝－２ｎ－７から２ｎ＋３まで。（印刷ミスか）

１７：３０　質疑応答。

１８：００　終了